Question

數(shù)列{a_n}滿足遞推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），其中a₄=365，
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；  
（Ⅱ）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得為等差數(shù)列，求λ值；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}滿足遞推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₄=365，所以利用遞推式，
由a4求a3，由a3求a2，由a2求a1，
（Ⅱ）由為等差數(shù)列，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成是n的一次函數(shù)，所以可設(shè)
解出a_n，再根據(jù)（Ⅰ）中所求a₁，a₂，a₃的值解出x，y，λ即可．
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中所求出的a_n，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和．
解答：解：（Ⅰ）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，及a₄=365知a₄=3a₃+3⁴-1=365，則a₃=95
同理求得a₂=23，a₁=5
（Ⅱ）∵
∴a_n=（xn+y）•3ⁿ-λ，又由a₁=5，a₂=23，a₃=95

∴
．
（Ⅲ）∵


由上兩式相減


=-n•3ⁿ⁺¹

．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及錯(cuò)位相見求數(shù)列的和，做題時(shí)要善于觀察，找到規(guī)律．