Question

（2007•浦東新區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為F₁、F₂的橢圓上運(yùn)動(dòng)，則與△PF₁F₂的邊PF₂相切，且與邊F₁F₂，F(xiàn)₁P的延長(zhǎng)線相切的圓的圓心M一定在（　�。�

A．一條直線上

B．一個(gè)圓上

C．一個(gè)橢圓上

D．一條拋物線上

Answer 1

分析：設(shè)出圓與三角形三邊及其延長(zhǎng)線的切點(diǎn)，利用切線定理得到線段的相等關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化為線段F₁A的長(zhǎng)度為定值，說(shuō)明切點(diǎn)為頂點(diǎn)A，由此可得結(jié)論．

解答：解：如圖，

設(shè)圓M與F₁F₂，F(xiàn)₁P，PF₂分別相切于A，B，C
由切線定理得：PB=PC，F(xiàn)₂A=F₂C，F(xiàn)₁B=F₁A，
因?yàn)镻在橢圓上
∴PF₁+PF₂=定值2a
∵F₁B+F₁A=F₁P+PB+F₁F₂+F₂A
=F₁P+F₂P+F₁F₂=2a+2c為定值．
∴BF₁=AF₁=a+c
∴切點(diǎn)A（a，0）
∴C在過(guò)A垂直于橢圓所在軸的直線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．