【題目】設函數(shù).
(1)當(為自然對數(shù)的底數(shù))時,求的最小值;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù);
(3)若對任意恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)2(2)當時,函數(shù)無零點;當或時,函數(shù)有且僅有一個零點;當時,函數(shù)有兩個零點;(3)
【解析】試題分析:(1)當m=e時, >0,由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的極小值;(2)由,得,令,x>0,m∈R,則h(1)=,
h′(x)=1-x2=(1+x)(1-x),由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g(x)=f′(x)-零點的個數(shù);(3)(理)當b>a>0時,f′(x)<1在(0,+∞)上恒成立,由此能求出m的取值范圍
試題解析:(1)由題設,當時,
易得函數(shù)的定義域為
當時, ,此時在上單調(diào)遞減;
當時, ,此時在上單調(diào)遞增;
當時, 取得極小值
的極小值為2
(2)函數(shù)
令,得
設
當時, ,此時在上單調(diào)遞增;
當時, ,此時在上單調(diào)遞減;
所以是的唯一極值點,且是極大值點,因此x=1也是的最大值點,
的最大值為
又,結(jié)合y= 的圖像(如圖),可知
①當時,函數(shù)無零點;
②當時,函數(shù)有且僅有一個零點;
③當時,函數(shù)有兩個零點;
④時,函數(shù)有且只有一個零點;
綜上所述,當時,函數(shù)無零點;當或時,函數(shù)有且僅有一個零點;當時,函數(shù)有兩個零點.
(3)對任意恒成立,等價于恒成立
設, 在上單調(diào)遞減
在恒成立
恒成立
(對, 僅在時成立),的取值范圍是
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【題目】已知數(shù)列,,其前項和滿足,其中.
(1)設,證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設,為數(shù)列的前項和,求證:;
(3)設(為非零整數(shù),),試確定的值,使得對任意,都有成立.
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,過點作垂直于軸的直線,直線垂直于點,線段的垂直平分線交于點.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線,且分別交橢圓于,求四邊形面積的最小值.
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【題目】如圖,已知動直線過點,且與圓交于、兩點.
(1)若直線的斜率為,求的面積;
(2)若直線的斜率為,點是圓上任意一點,求的取值范圍;
(3)是否存在一個定點(不同于點),對于任意不與軸重合的直線,都有平分,若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】為推行“微課、翻轉(zhuǎn)課堂”教學法,某數(shù)學老師分別用傳統(tǒng)教學和“微課、翻轉(zhuǎn)課堂”兩種不同的教學方式,在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗,為了比較教學效果,期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷“成績優(yōu)良與教學方式是否有關(guān)”?
附:
臨界值表:
(2)現(xiàn)從上述40人中,學校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核,在這8人中,記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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