Question

10．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD．且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，請(qǐng)用學(xué)習(xí)的有關(guān)向量的知識(shí)求出PB與CD所成的角．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與CD所成的角的大�。�

解答 解：∵四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD．且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意得B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
設(shè)PB與CD所成的角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴PB與CD所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．