Question

設(shè)f（x）=

x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．
（1）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域；
（2）若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）-f（x₁）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）判斷單調(diào)性求值域；
（2）求出函數(shù)的值域，由集合的包含關(guān)系求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，則
f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1

x1+1

-

x 2 2

x2+1

=

(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，
且f（0）=0，f（1）=

1

2

，
則f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇0，

1

2

]．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇0，

1

2

]，
函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇5-2a，5-a]，
則若使對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）-f（x₁）＜0成立，
則5-2a＜0，
解得，a＞

5

2

；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域的求法及集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．