Question

甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
（Ⅰ） 求甲獲勝的概率；
（Ⅱ） 求投籃結束時甲的投籃次數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

【答案】分析：設A_k，B_k分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（A_k）=，P（B_k）=（k=1，2，3）
（Ⅰ） 記“甲獲勝”為事件C，則P（C）=P（A₁）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；
（Ⅱ） 投籃結束時甲的投籃次數(shù)ξ的可能值為1，2，3，求出相應的概率，即可得到ξ的分布列與期望．
解答：解：設A_k，B_k分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（A_k）=，P（B_k）=（k=1，2，3）
（Ⅰ） 記“甲獲勝”為事件C，則P（C）=P（A₁）+P（）+P（）
=×+=；
（Ⅱ） 投籃結束時甲的投籃次數(shù)ξ的可能值為1，2，3
P（ξ=1）=P（A₁）+P（）=
P（ξ=2）=P（）+P（）==
P（（ξ=3）=P（）==
ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P

期望Eξ=1×+2×+3×=．
點評：本題考查互斥事件概率的求解，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是確定變量的取值，理解變量取值的含義，屬于中檔題．