已知向量
m
=(
3
sin
x
4
,1)
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4
)

(1)若
m
n
=1,求cos(x+
π
3
)
的值;
(2)記函數(shù)f(x)=
m
n
,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求f(A)的取值范圍.
分析:(1)由兩向量的坐標(biāo)及
m
n
=1,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式,利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),可得出sin(
x
2
+
π
6
)的值,然后將所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后,將得出的sin(
x
2
+
π
6
)的值代入即可求出值;
(2)利用正弦定理化簡已知的等式,移項(xiàng)整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形后,根據(jù)sinA不為0,可得出cosB的值,由B為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù),確定出A的范圍,得出
A
2
+
π
6
的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出sin(
A
2
+
π
6
)的范圍,即可得出f(A)的范圍.
解答:解:(1)∵
m
3
sin
x
4
,1),
n
(cos
x
4
,cos2
x
4
),
m
n
=1,
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=1,…(2分)
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=1,
∴sin(
x
2
+
π
6
)=
1
2
,…(4分)
則cos(x+
π
3
)=1-2sin2(
x
2
+
π
6
)=1-2•(
1
2
2=
1
2
;…(7分)
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcocC,
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sin(B+C),…(9分)
∵A+B+C=π,
∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,
∴cosB=
1
2
,即B=
π
3
,…(11分)
∴0<A<
3

π
6
A
2
+
π
6
π
2
,
1
2
<sin(
A
2
+
π
6
)<1,…(12分)
又∵f(x)=
m
n
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
,
∴f(A)=sin(
A
2
+
π
6
)+
1
2

∴1<f(A)<
3
2
,
則函數(shù)f(A)的取值范圍是(1,
3
2
).…(14分)
點(diǎn)評:此題考查了正弦定理,正弦函數(shù)的定義域與值域,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,誘導(dǎo)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,cosx),
p
=(2
3
,1)

(1)若
m
n
,求sinx•cosx的值;
(2)設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角B的取值集合為M,當(dāng)x∈M時,求函數(shù)f(x)=
m
n
的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx,  1)
n
=(cosx,  
1
2
)
,若f(x)=
m
n

(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2) 已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且c=3, f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
(C為銳角),2sinA=sinB,求C、a、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(
1
2
f(x),cosx),
m
n

(I)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間及在[-
π
6
π
4
]
內(nèi)的值域;
(II)已知A為△ABC的內(nèi)角,若f(
A
2
)=1+
3
,a=1,b=
2
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x))
,且
m
n

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0, 
π
2
]
時,函數(shù)g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b
的最大值為3,最小值為0,試求a、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x)),
m
n

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知A為△ABC的內(nèi)角,若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
,a=1,b=
2
,求△ABC的面積.

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