Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是周期為3的奇函數(shù)，f（

3

2

）=0，當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)，f（x）=sinπx，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

A．9

B．8

C．7

D．6

Answer 1

分析：要求方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解的個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的周期為3的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)f（x）=sinπx，我們不難得到一個(gè)周期函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性進(jìn)行分析不難得到結(jié)論．

解答：解：∵當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)，f（x）=sinπx，令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
又∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴在區(qū)間∈[-

3

2

，

3

2

]上，
f（-1）=f（1）=f（

3

2

）=f（-

3

2

）=0，f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
則方程f（x）=0在區(qū)間[0，5]上的解有0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，共計(jì)8個(gè)，
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，函數(shù)的周期性，若奇函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，則必有f（0）=0，這個(gè)關(guān)系式大大簡化了解題過程，要注意在解題中使用．如果本題所給區(qū)間為開區(qū)間，則答案為7個(gè)，故要注意對端點(diǎn)的分析，屬于中檔題．