Question

已知函數(shù)

（1）若方程內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（2）如果函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)、且.求證：（其中正常數(shù)）.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）方程內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在 上的單調(diào)性與極值并結(jié)合邊界值來確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）由函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)、知方程

有兩根

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718563922442270/SYS201411171856472715266195_DA/SYS201411171856472715266195_DA.015.png"> ,

所以

只需證明：在上恒成立即可.

試題解析：（1）由，

求導(dǎo)數(shù)得到：

，故在有唯一的極值點(diǎn)

，且知

故上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足：

故所求m的取值范圍為. （6分）

（2）又有兩個(gè)實(shí)根

則

兩式相減得到：

于是

 

，故

要證：，只需證：

只需證：

令，則

只需證明：在上恒成立.

又則

于是由可知.故知

上為增函數(shù)，則

從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證. （14分）

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想.