Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)是，，點(diǎn)P在橢圓上且滿(mǎn)足|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：2x+y+2=0與橢圓C的交點(diǎn)為A，B．
（i）求使△PAB的面積為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；
（ii）設(shè)M為橢圓上任一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求λ²+μ²的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）（i）把直線(xiàn)l方程代入橢圓的方程，求出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，由三角形的面積求出三角形的高是，寫(xiě)出與AB平行且到AB的距離等于直線(xiàn)方程，考查此直線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（ii）設(shè)M（x，y），則M（x，y）滿(mǎn)足橢圓的方程，由題中條件用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出λ和μ，計(jì)算λ²+μ²的值．
解答：解：（Ⅰ）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴點(diǎn)P滿(mǎn)足的曲線(xiàn)C的方程為橢圓
∵
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）

（Ⅱ）（i）∵直線(xiàn)l：2x+y+2=0與橢圓C的交點(diǎn)為A，B
∴A（-1，0），?B（0，-2），
若
∴
∵原點(diǎn)O到直線(xiàn)l：2x+y+2=0的距離是
∴在直線(xiàn)l：2x+y+2=0的右側(cè)有兩個(gè)符合條件的P點(diǎn)
設(shè)直線(xiàn)l′：2x+y+n=0與橢圓相切，則
有且只有一個(gè)交點(diǎn)
∴8x²+4nx+n²-4=0有且只有一個(gè)解
由△=0解得（設(shè)負(fù)）
此時(shí)，l′與l間距離為
∴在直線(xiàn)l：2x+y+2=0的左側(cè)不存在符合條件的P點(diǎn)
∴符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．（10分）

（ii）設(shè)M（x，y），則x，y滿(mǎn)足方程：
∵
∴（x，y）=λ（-1，0）+μ（0，-2）=（-λ，-2μ）
即：，從而有
∴．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題．