Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），定義橢圓C上的點(diǎn)M（x0，y0）的“伴隨點(diǎn)”為．

（1）求橢圓C上的點(diǎn)M的“伴隨點(diǎn)”N的軌跡方程；

（2）如果橢圓C上的點(diǎn)（1，）的“伴隨點(diǎn)”為（，），對(duì)于橢圓C上的任意點(diǎn)M及它的“伴隨點(diǎn)”N，求的取值范圍；

（3）當(dāng)a=2，b=時(shí)，直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B的“伴隨點(diǎn)”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=1，（2），（3）

【解析】

(1)由代入橢圓方程即可求得橢圓C上的點(diǎn)M的“伴隨點(diǎn)”N的軌跡方程；
（2）由題意，求得橢圓的方程，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得
（3）求得橢圓方程，設(shè)方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)求得，弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得的面積，直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為，代入橢圓方程，即可求得的面積．

(1)設(shè)，由題意，則 .

又，所以

.

(2)由橢圓C上的點(diǎn)（1，）的“伴隨點(diǎn)”為（，）

則，得，又,則.

點(diǎn)，在橢圓上，，，且

由于，的取值范圍是.

(3)設(shè)，則

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由 .

得 .

則

①

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得:,即.

又

整理得： ②

將①代入②得：

，則，

所以.

又點(diǎn)到直線的距離

所以

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為

聯(lián)立橢圓方程得 ，得.

解得：，從而.

綜上：的面積是定值.