Question

在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：(a＞0)，過點P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C分別交于M，N.

(1)寫出C的平面直角坐標系方程和l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值.

 

Answer 1

(1)x－y－2＝0；(2)1.

【解析】試題分析：(1)利用極坐標與普通方程的關系式，可得C為拋物線方程，消去參數(shù)t，可得直線l的方程；(2)由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比數(shù)列，可轉化為關于a的等量關系求解.

試題解析：(Ⅰ)曲線C的直角坐標方程為y2＝2ax(a＞0)；

直線l的普通方程為x－y－2＝0． 4分

(Ⅱ)將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立，得

t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*)

△＝8a(4＋a)＞0．

設點M，N分別對應參數(shù)t1，t2，恰為上述方程的根．

則|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由題設得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．

由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，則有

(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因為a＞0，所以a＝1． 10分

考點:參數(shù)方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化，直線與拋物線位置關系