Question

已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是

1. A.
   展開(kāi)式中共有八項(xiàng)
2. B.
   展開(kāi)式中共有四項(xiàng)為有理項(xiàng)
3. C.
   展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)
4. D.
   展開(kāi)式中共有五項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)

Answer 1

C
分析：由題意通過(guò)前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，求出n的值，然后判斷二項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，有沒(méi)有有理項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，是否存在展開(kāi)式中共有五項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)，得到結(jié)果．
解答：已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列，
所以，解得n=8，
展開(kāi)式中共有九項(xiàng)，A不正確；
展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)為C^k₈（ ）^8-k（-）^k
=（-）^kC^k₈•x •x-=（-1）^k•C^k₈•x ．
若第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
當(dāng)且僅當(dāng) =0，即3k=16，
∵k∈Z，∴這不可能，∴展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)．C正確；
若第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng) 為整數(shù)，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：
T₁=x⁴，T₅=x，T₉=x^-2．所以展開(kāi)式中共有四項(xiàng)為有理項(xiàng)，不正確．
展開(kāi)式中共有五項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)．顯然不正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，常考題型．