證明空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得
OA
=x
OB
+y
OC
+z
OD
．
（必要性）依題意知，B、C、D三點不共線，
則由共面向量定理的推論知：四點A、B、C、D共面
?對空間任一點O，存在實數(shù)x1、y1，使得
OA
=
OB
+x1
BC
+y1
BD

=
OB
+x1（
OC
-
OB
）+y1（
OD
-
OB
）
=（1-x1-y1）
OB
+x1
OC
+y1
OD
，
取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，
則有
OA
=x
OB
+y
OC
+z
OD
，且x+y+z=1．
（充分性）對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得
OA
=x
OB
+y
OC
+z
OD
．
所以x=1-y-z得
OA
=（1-y-z）
OB
+y
OC
+z
OD
．
OA
=
OB
+y
BC
+z
BD
，即：
BA
=y
BC
+z
BD
，
所以四點A、B、C、D共面．
所以，空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：
對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得
OA
=x
OB
+y
OC
+z
OD
．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得
OA
=x
OB
+y
OC
+z
OD
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

證明空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得數(shù)學(xué)公式=x數(shù)學(xué)公式+y數(shù)學(xué)公式+z數(shù)學(xué)公式．

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