13.已知函數(shù)f(x)=loga$\frac{1-kx}{x-1}$(0<a<1)為奇函數(shù).
(1)求常數(shù)k的值;
(2)若m>n>1,比較f(m)與f(n)的大。
(3)當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí),若函數(shù)g(x)=f(x)-($\frac{1}{2}$)x+t,且g(x)在區(qū)間[3,4]上沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)由奇函數(shù)的定義,可得f(-x)+f(x)=0,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得k=-1;
(2)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得證;
(3)問題轉(zhuǎn)化為t<${(\frac{1}{2})}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$對任意x∈[3,4]恒成立,或t>${(\frac{1}{2})}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$對任意x∈[3,4]恒成立,運(yùn)用單調(diào)性即可得到t的范圍;

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=loga$\frac{1-kx}{x-1}$是奇函數(shù).
∴f(-x)+f(x)=0,即為loga$\frac{1+kx}{-x-1}$+loga $\frac{1-kx}{x-1}$=0,
∴$\frac{1{{-k}^{2}x}^{2}}{1{-x}^{2}}$=1,可得k=±1,
檢驗(yàn)可得k=-1成立;
(2)由(1)得:f(x)=${log}_{a}^{\frac{x+1}{x-1}}$,
令y=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$在(1,+∞)遞減,
而0<a<1,f(y)=${log}_{a}^{y}$是減函數(shù),
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則,
函數(shù)f(x)在(1,+∞)遞增,
若m>n>1,則f(m)>f(n);
(3)當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí),若函數(shù)g(x)=f(x)-($\frac{1}{2}$)x+t,且g(x)在區(qū)間[3,4]上沒有零點(diǎn),
即t<${(\frac{1}{2})}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$對任意x∈[3,4]恒成立,或t>${(\frac{1}{2})}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$對任意x∈[3,4]恒成立
設(shè)g(x)=${(\frac{1}{2})}^{x}$-${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$,
由(1)和(2)可得g(x)在[3,4]遞減,
則g(x)min=g(4)=$\frac{1}{16}$+${log}_{2}^{5}$-${log}_{2}^{3}$,g(x)max=g(2)=$\frac{1}{8}$+${log}_{2}^{4}$-${log}_{2}^{2}$=$\frac{9}{8}$,
則t<$\frac{1}{16}$+${log}_{2}^{5}$-${log}_{2}^{3}$,或t>$\frac{9}{8}$.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用,考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的判斷及運(yùn)用,考查不等式恒成立問題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和單調(diào)性,屬于中檔題.

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