Question

（文科做②；理科從①②兩小題中任意選作一題）
①（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線θ=

π

6

(ρ∈R)截圓ρ=2cos(θ-

π

6

)的弦長是

2

．
②（不等式選做題）關于x的不等式|x-a|-|x-1|≤1在R上恒成立（a為常數），則實數a的取值范圍是

[0，2]

．

Answer 1

分析：①由題意，可將極坐標方程轉化為直角坐標系下的普通方程，研究圓心到直線的距離，確定出弦長即可得到答案
②由題意，可先由絕對值的幾何意義求出|x-a|-|x-1|的最值，由于不等式在R上恒成立，故令所得的最值小于等于1，解此不等式即可求出實數a的取值范圍

解答：解：①直線θ=

π

6

(ρ∈R)的直角坐標系下的方程是x-

3

y=0，
又ρ=2cos(θ-

π

6

)=2（cosθcos

π

6

+sinθsin

π

6

）=

3

cosθ+sinθ，
所以ρ²=

3

ρcosθ+ρsinθ，即x²+y²=

3

x+y，整理得（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²=1，即以（

3

2

，

1

2

）為圓心，以1為半徑的圓
圓心到直線的距離是

| 1 2 × 3 - 3 2 |

1+3

=0，即直線過圓心
故弦長為2
②由絕對值的意義知，|x-a|-|x-1|≤|x-a-（x-1）|=|1-a|，
又由已知知關于x的不等式|x-a|-|x-1|≤1在R上恒成立（a為常數），故有|1-a|≤1，解得0≤a≤2
即實數a的取值范圍是[0，2]
故答案為①2；②[0，2]

點評：本題考查簡單曲線的極坐標方程及絕對值不等式絕對值的幾何意義，第一小題解題的關鍵是化極坐標方程為普通方程，第二題是理解絕對值的幾何意義，本題考查了轉化的數形結合的思想，屬于經典題型．