Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若，求證：函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；

（Ⅱ）求函數(shù)在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入，求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)恒為正值進(jìn)行證明；（Ⅱ）求導(dǎo)，通過(guò)討論參數(shù)的取值，研究函數(shù)的極值點(diǎn)與所給區(qū)間的關(guān)系，進(jìn)而研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性和極值、最值進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，f（x）=x2﹣2lnx，當(dāng)x∈（1，+∞），，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

（Ⅱ），當(dāng)x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非負(fù)（僅當(dāng)a=﹣2，x=1時(shí)，f'（x）=0），

故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（1）=1．

若﹣2e2＜a＜﹣2，當(dāng)時(shí)，f'（x）=0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，

此時(shí)f（x）是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．

故[f（x）]min==

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（僅當(dāng)a=﹣2e2，x=e時(shí)，f'（x）=0），

故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時(shí)[f（x）]min=f（e）=a+e2．

綜上可知，當(dāng)a≥﹣2時(shí)，f（x）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；

當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣2時(shí)，f（x）的最小值為，相應(yīng)的x值為；

當(dāng)a≤﹣2e2時(shí)，f（x）的最小值為a+e2，相應(yīng)的x值為e