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在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

 

【答案】

（Ⅰ）；

(Ⅱ)（1）當時，則=；

（2）當時，則=；

（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ），可得,是等腰直角三角形，令=；

（Ⅱ），，,

利用30°的直角三角形的性質令=m所以，，是邊上的三等分點.分類討論：或；

（Ⅲ）注意到，是解題的關鍵，，求通常用平方的方法。

                 

（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當時，則=；--2分

（2）當時，則=；---2分

（Ⅲ）解：設,因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數，在遞減，在上遞增，所以從而當時，………………2分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2013-2014學年浙江省建人高復高三上學期第二次月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在中，滿足：，是的中點．

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若點是邊上一點，,且，求的最小值．

 

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科目：高中數學 來源：2012學年浙江省杭州七校高一第二學期期中聯考數學試卷（解析版） 題型：解答題

在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求

第二問因為，=m所以，

（1）當時，則= 

（2）當時，則=

第三問中，解：設,因為，；

所以即于是得

從而

運用三角函數求解。

（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當時，則=；-2分

（2）當時，則=；--2分

（Ⅲ）解：設,因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數，在遞減，在上遞增，所以從而當時，

 

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科目：高中數學 來源：2013屆江蘇無錫市高二第二學期期中文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在中，滿足,是中點.

（1）若,求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值；

（3）若點是邊上一點，且,，,求的最小值.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

在中,設是邊上的一點,且滿足

,,則的值為（　�。�

                　 

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