Question

等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比q，由a₃²=9a₂a₆，利用等比數(shù)列的通項公式化簡后得到關(guān)于q的方程，由已知等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，得到滿足題意q的值，然后再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式化簡2a₁+3a₂=1，把求出的q的值代入即可求出等比數(shù)列的首項，根據(jù)首項和求出的公比q寫出數(shù)列的通項公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出數(shù)列{a_n}的通項公式代入設(shè)bn=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和的公式化簡后，即可得到b_n的通項公式，求出倒數(shù)即為

1

bn

的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列的通項公式列舉出數(shù)列的各項，抵消后即可得到數(shù)列{

1

bn

}的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²，所以q²=

1

9

．
由條件可知各項均為正數(shù)，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．
故數(shù)列{a_n}的通項式為a_n=

1

3n

．
（Ⅱ）b_n=

log

a1 3

+

log

a2 3

+…+

log

an 3

=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

，
故

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

）
則

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-

2n

n+1

，
所以數(shù)列{

1

bn

}的前n項和為-

2n

n+1

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式化簡求值，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和的公式，會進(jìn)行數(shù)列的求和運(yùn)算，是一道中檔題．