一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比,已知在速度為每小時10公里的燃料費是每小時6元,而其他與速度無關的費用是每小時96元,問
(1)若輪船以每小時24公里的速度航行,求行駛100公里的費用總和.
(2)如果甲、乙兩地相距100公里,求輪船從甲地航行到乙地的總費用的最小值,并求出此時輪船的航行速度.
分析:(1)若設輪船的速度為v,比例系數(shù)為k,(k>0),則每小時的燃料費為kv3 ,由v=10,可得k=
3
500
;即總費用y=(
3v3
500
+96)×100×
1
v
,(v>0);把v=24代入計算即可;
(2)對y求導,得y′=
6
5
v-
9600
v2
;令y'=0,可得v=20;由導數(shù)的正、負可得函數(shù)y取得極小值(即最小值)時,v=20;
解答:解:(1)設輪船的速度為v,比例系數(shù)為k,(k>0),則每小時的燃料費為kv3
因為,當v=10時,kv3=6;所以,k=
3
500
;
設總費用為y,則y=
3
5
v2+
9600
v
(v>0);
當v=24時,行駛100公里的費用總和為y=745.6(元);
(2)對y求導,得y′=
6
5
v-
9600
v2
;
令y'=0,得v=20;
∴當0<v<20時,y'<0,函數(shù)y單調遞減;
當v>20時,y'>0,函數(shù)y單調遞增;
所以,當v=20時,函數(shù)y取得極小值,即為最小值720元.
答:當輪船每小時行駛20公里時,從甲地航行到乙地的總費用最小,最小值為720元.
點評:本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)最值的應用問題,本題的關鍵是根據(jù)題意,正確列出函數(shù)解析式,從而求得結果.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時10公里時,燃料費是每小時5元,而其它和速度無關的費用是每小時80元.
(1)將1小時的燃料費P元表示為速度v(公里/小時)的函數(shù);
(2)已知甲,乙兩地相距100公里,問該輪船以多大的速度行駛時,從甲地行駛到乙地所需的費用總和為最。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

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