Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²（其中a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求由直線x=0、x=1、曲線y=f（x）及線段y=0（0≤x≤1）所圍成的封閉區(qū)域的面積；
（3）當(dāng)a∈(

1

2

，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）=x（e^x-2a），分類討論列出表格得出單調(diào)性，
（2）根據(jù)前面的結(jié)論得出；區(qū)域面積S=∫

1 0

[x

2

-（x-1）e^x]dx=[

x3

3

-（x-2）e^x]|

1 0

=e-

5

3

，
（3）根據(jù)f（x）在（0，ln2a）單調(diào)遞減，在（ln2a，a]單調(diào)遞增，得出：函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值M=max{f（0），f（a）}=max{-1，（a-1）e^a-a³，}，
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷-1，（a-1）e^a-a³大小，運(yùn)用作差構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)數(shù)解決．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-ax²（其中a∈R）．
∴f′（x）=x（e^x-2a），
①當(dāng)a≤0時(shí)，∵e^x-2a＞0，
∴x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f′（x）=0，得出x=0．x=ln2a，
當(dāng)x變化時(shí)，如下表格：

x	（-∞，ln2a）	ln2a	（ln2a，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

可求得（-∞，ln2a）（0，+∞）為單調(diào)遞增區(qū)間；（ln2a，0）為單調(diào)遞減；
③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′（x）=x（e^x-2a）≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
④當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f′（x）=0，得出x=0．x=ln2a，
當(dāng)x變化時(shí)，如下表格：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2a）	ln2a	（ln2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

可求得（-∞，0），（ln2a，+∞）為單調(diào)遞增區(qū)間；（0，ln2a）為單調(diào)遞減；
（2）由④和f（1）＜0知f（x）＜0，x∈[0，1]恒成立，
∴區(qū)域面積S=∫

1 0

[x

2

-（x-1）e^x]dx=[

x3

3

-（x-2）e^x]|

1 0

=e-

5

3

，
（3）f′（x）=x（e^x-2a），f′（x）=0，得出x₁=0．x₂=ln2a，
∵x∈[0，a]，a∈(

1

2

，1]時(shí)，
∴令g（a）=ln2a-a
g′（a）=

1-a

a

＞0，∴g（a）=ln2a-a，a∈(

1

2

，1]，單調(diào)遞增．
g（a）≤ln2-1ln2-lne＜0，
∴l(xiāng)n2a＜a，
∴l(xiāng)n2a∈[0，a]，
∴x∈（0，ln2a）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（ln2a，a]時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，ln2a）單調(diào)遞減，在（ln2a，a]單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值M=max{f（0），f（a）}=max{-1，（a-1）e^a-a³，}，
令h（a）=（a-1）e^a-a³+1，h′（a）=a（e^a-3a），
令φ（a）=e^a-3a，φ′（a）=e^a-3＜0，
∴φ（a）=e^a-3a，a∈(

1

2

，1]，單調(diào)遞減，
φ（

1

2

）•φ（1）＜0，
存在x₀∈[

1

2

，1]時(shí)，∴φ（a）=0，
∴[

1

2

，x₀]時(shí)，φ（a）＞0，即h′（a）＞0；
[x₀，1]時(shí)，φ（a）＜0，即h′（a）＜0；
∴h（a）在[

1

2

，x₀]單調(diào)遞增，在[x₀，1]單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（

1

2

）=-

1

2

e

+

7

8

，h（1）=0，
∴當(dāng)a∈(

1

2

，1]時(shí)，h（a）≥0恒成立，（a=1時(shí)等號(hào)成立）
∴函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值為：（a-1）e^a-a³，

點(diǎn)評(píng)：本綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，難度較大，多次求導(dǎo)判斷最值，單調(diào)性，必需思路清晰，目的性強(qiáng)．