Question

（2012•莆田模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，已知a₁=1，等式a_n+a_n+2=2a_n+1對(duì)任意n∈N^*均成立．
（1）若a₄=10，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₂=1+t，且存在m≥3（m∈N^*），使得a_m=S_m成立，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可判定數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，然后根據(jù)條件求出公差，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)a_m=S_m成立可求得t關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)m的范圍可求出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵a_n+a_n+2=2a_n+1對(duì)任意n∈N^*均成立
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d
∵a₁=1，a₄=10
∴a₄=a₁+3d=10
解得d=3
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-2
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-2
（2）∵a₂=1+t
∴d=t則a_n=1+（n-1）t，S_n=n+

n(n-1)

2

t
由a_m=S_m得1+（m-1）t=m+

m(m-1)

2

t
∴t=1+

m

2

t即t=

2

2-m

∵m≥3，∴t≥-2
∴t的最小值為-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．