Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；
（2）若x＞0，證明：（e^x-1）ln（x+1）＞x²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可求出；
（2）原不等式等價于$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$，要證原不等式成立，只需要證明當(dāng)x＞0時，x＜e^x-1，令h（x）=e^x-x-1，利用導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可證明．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）的定義域為（-1，0）∪（0，+∞）
∴f′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{x}{1+x}$-ln（1+x），
∴g′（x）=$\frac{1+x-x}{（1+x）^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=$\frac{-x}{（1+x）^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；
（2）（e^x-1）ln（x+1）＞x²等價于$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，
∵$\frac{x}{{e}^{x}-1}$=$\frac{ln{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$=$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$，
∴原不等式等價于$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$，
由（1）知，f（x）=$\frac{ln（x+1）}{x}$是（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴要證原不等式成立，只需要證明當(dāng)x＞0時，x＜e^x-1，
令h（x）=e^x-x-1，
∴h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴h（x）＞h（0）=0，
即x＜e^x-1，
∴f（x）＞f（e^x-1），
即$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{（ln{e}^{x}-1+1）}{{e}^{x}-1}$=＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，
故（e^x-1）ln（x+1）＞x²．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值得關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力，分析解決問題的能力，屬于中檔題．