Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其側面展開圖是邊長為8的正方形．E、F分別是側棱AA₁、CC₁上的動點，AE+CF=8．
（1）證明：BD⊥EF；
（2）P在棱AA₁上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求：CF；
（3）多面體AE-BCFB₁的體積V是否為常數(shù)？若是，求這個常數(shù)，若不是，求V的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD得BD⊥平面AA₁C₁C，再證BD⊥EF；
（2）由EF∥平面PBD得EF∥PO，再由題意構造中位線得QC∥PO，證出EFCQ為平行四邊形再由題意求CF；
（3）把多面體AE-BCFB₁分割成四棱錐B₁-AEFC和三棱錐B₁-ABC，分別求出體積在求和．

解答：證明：（1）連接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴AA₁⊥平面ABCD，
∵BD?ABCD，∴AA₁⊥BD（2分），
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∵EF?平面AA₁C₁C，∴BD⊥EF（4分）．

（2）連AC交BD與O，再取AA₁中點Q，連QC，
∵EF∥平面PBD，平面PBD∩平面ACEF=PO，
∴EF∥PO；∵AQ=4，AP=2，
∴QC∥PO，∴EF∥QC
又∵AA₁∥CC₁
∴EFCQ為平行四邊形，∴FC=EQ
∵AE+CF=8
∴CF=2（8分）

（3） 多面體AE-BCFB₁是四棱錐B₁-AEFC和三棱錐B₁-ABC的組合體，
由題意，BB₁=8，AB=2，BB₁三棱錐B₁-ABC的高，BO是四棱錐B₁-AEFC的高，
∴V=

1

3

×S△ABC×BB1+

1

3

×SAEFC×BO=

16 3

3

是常數(shù)．（12分）

點評：本題考查了線線、線面的垂直和平行的定理應用，如何實現(xiàn)線線和線面垂直和平行的轉化；求多面體體積時常用分割法求，注意幾何體的高．