Question

已知橢圓．
（1）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；
（2）過A（2，1）的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）過點(diǎn)P（）且被P點(diǎn)平分的弦所在的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點(diǎn)為R（x，y），則，，兩式相減得=-，由此能求出斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．
（2）設(shè)直線方程為y-1=k（x-2），設(shè)兩交點(diǎn)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），則，，兩式相減得
，故+，令中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則x+2y•=0，由此能求出l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程．
（3）設(shè)過點(diǎn)P（）的直線與交于E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆），由P（）是EF的中點(diǎn)，知x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，把E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆）代入與，得k==-，由此能求出過點(diǎn)P（）且被P點(diǎn)平分的弦所在的直線方程．
解答：解：（1）設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 的中點(diǎn)為R（x，y），
則，，
兩式相減并整理可得，①
將代入式①，得所求的軌跡方程為x+4y=0（橢圓內(nèi)部分）．
（2）可設(shè)直線方程為y-1=k（x-2）（k≠0，否則與橢圓相切），
設(shè)兩交點(diǎn)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
則，，兩式相減得
，
顯然x₃≠x₄（兩點(diǎn)不重合），
故+，
令中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則x+2y•=0，
又（x，y）在直線上，所以，
顯然，
故x+2y•k=x+2y=0，即所求軌跡方程為x²+2y²-2x-2y=0（夾在橢圓內(nèi)的部分）．
（3）設(shè)過點(diǎn)P（）的直線與交于E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆），
∵P（）是EF的中點(diǎn)，
∴x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，
把E（x₅，y₅），F(xiàn)（x₆，y₆）代入與，
得，
∴（x₅+x₆）（x₅-x₆）+2（y₅+y₆）（y₅-y₆）=0，
∴（x₅-x₆）+2（y₅-y₆）=0，
∴k==-，
∴過點(diǎn)P（）且被P點(diǎn)平分的弦所在的直線方程：，
即2x+4y-3=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．