已知橢圓
(1)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程;
(2)過A(2,1)的直線l與橢圓相交,求l被截得的弦的中點軌跡方程;
(3)過點P()且被P點平分的弦所在的直線方程.
【答案】分析:(1)設弦的兩端點分別為M(x1,y1),N(x2,y2),中點為R(x,y),則,,兩式相減得=-,由此能求出斜率為2的平行弦的中點軌跡方程.
(2)設直線方程為y-1=k(x-2),設兩交點分別為(x3,y3),(x4,y4),則,,兩式相減得
,故+,令中點坐標為(x,y),則x+2y•=0,由此能求出l被截得的弦的中點軌跡方程.
(3)設過點P()的直線與交于E(x5,y5),F(xiàn)(x6,y6),由P()是EF的中點,知x5+x6=1,y5+y6=1,把E(x5,y5),F(xiàn)(x6,y6)代入與,得k==-,由此能求出過點P()且被P點平分的弦所在的直線方程.
解答:解:(1)設弦的兩端點分別為M(x1,y1),N(x2,y2) 的中點為R(x,y),
,
兩式相減并整理可得,①
代入式①,得所求的軌跡方程為x+4y=0(橢圓內(nèi)部分).
(2)可設直線方程為y-1=k(x-2)(k≠0,否則與橢圓相切),
設兩交點分別為(x3,y3),(x4,y4),
,兩式相減得
,
顯然x3≠x4(兩點不重合),
+,
令中點坐標為(x,y),
則x+2y•=0,
又(x,y)在直線上,所以,
顯然,
故x+2y•k=x+2y=0,即所求軌跡方程為x2+2y2-2x-2y=0(夾在橢圓內(nèi)的部分).
(3)設過點P()的直線與交于E(x5,y5),F(xiàn)(x6,y6),
∵P()是EF的中點,
∴x5+x6=1,y5+y6=1,
把E(x5,y5),F(xiàn)(x6,y6)代入與,

∴(x5+x6)(x5-x6)+2(y5+y6)(y5-y6)=0,
∴(x5-x6)+2(y5-y6)=0,
∴k==-,
∴過點P()且被P點平分的弦所在的直線方程:,
即2x+4y-3=0.
點評:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應用,是中檔題.解題時要認真審題,注意點差法的合理運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,橢圓C上任意一點到橢圓兩焦點的距離和為6.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l:y=kx,求直線DE的斜截式方程;
(3)設橢圓C的弦DE的中點為(-1,1),求直線DE的斜截式方程;
(4)設直線l:y=x-2與橢圓C交于M、N兩點,O是原點,求△OMN的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示:已知橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,A,B是橢圓與斜軸的兩個交點,F(xiàn)是橢圓的焦點,且△ABF為直角三角形.
(1)求橢圓離心率;
(2)若橢圓的短軸長為2,過F的直線與橢圓相交的弦長為
3
2
2
,試求弦所在直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓=1(a>b>0)上的兩點,已知向量m() ,n(),若m·n=0且橢圓的離心率e=,短軸長為2,O為坐標原點:

(Ⅰ)求橢圓的方程:

(Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c),(為半焦距),求直線AB的斜k率的值:

(Ⅲ)試問:△AOB的面積是否為定值?

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(本小題滿分13分)

已知橢圓(a>b>0)的焦距為4,且與橢圓有相同的離心率,斜

 

率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1),與橢圓C交于不同兩點A、B.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時,求k的取值范圍.

 

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