Question

函數(shù)f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）周期，最大值及相應(yīng)的x的取值集合
（2）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)y=sin²x-2sinxcosx+3cos²x，為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后直接求出最小正周期，最大值，對稱軸，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）y=-sin^₂x+cos2x+2=cos（2x+

π

4

）+2；
①，T=

2π

2

=π；函數(shù)的最小正周期為：π
②，當(dāng)x=kπ-

π

8

（k∈Z）時(shí)，y_max=2+

2

；函數(shù)的最大值為：2+

2

；
（2）①因?yàn)閥=cosx的對稱軸為x=kπ，k∈Z，所以2x+

π

4

=kπ，解得：x=

kπ

2

+

π

8

②因?yàn)閥=cosx的單調(diào)增區(qū)間為：[2kπ+π，2kπ+2π]k∈Z，所以2x+

π

4

∈[2kπ+π，2kπ+2π]，
解得x∈[kπ+

3

8

π，kπ+

7

8

π]，k∈Z就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，余弦函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，考查計(jì)算能力，此類題目的解答，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是基礎(chǔ)題．