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已知定義在R上的奇函數f（x）的導函數為f′（x），當x＜0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x）＜xf（x），則f（x）在R上的零點個數為（　　）
A、1B、3C、5D、1或3
考點：導數的運算,根的存在性及根的個數判斷
專題：函數的性質及應用
分析：可構造函數F（x）=
x2f(x)
ex
 （x＜0），對其求導，利用導數判斷其單調性，結合函數為奇函數，即可得出結論．
解答： 解：構造函數F（x）=
x2f(x)
ex
 （x＜0），
  所以F′（x）=
2xf(x)ex+x2f′(x)ex-x2f(x)ex
(ex)2
=
x[2f(x)+xf′(x)-xf(x)]
ex
，
因為2f（x）+xf′（x）＜xf（x），x＜0，
所以F′（x）＞0，
所以函數F（x）在x＜0時是增函數，
又F（0）=0  所以當x＜0，F（x）＜F（0）=0成立，
因為對任意x＜0，
x2
ex
＞0，所以f（x）＜0，
由于f（x）是奇函數，所以x＞0時f（x）＞0，
即f（x）=0只有一個根就是0．
故選A．
點評：本題考查了函數零點的判斷；本題的難點在于構造新函數F（x）=
x2f(x)
ex
，通過求導判斷函數的單調性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a=（
1
2
） 
1
3
，b=log2
1
3
，c=log 
1
2
1
3
，則（　　）
A、a＞b＞c
B、a＞c＞b
C、c＞a＞b
D、c＞b＞a

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=Asin（
π
3
x+φ）（x∈R，A＞0，0＜φ＜
π
2
），y=f（x）的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象相鄰的最高點和最低點，點P的坐標為（1，A）．
（1）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（2）若點M的坐標為（1，0），向量
MP
，
MQ
的夾角為
2π
3
，求A的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=
log
1
3
(x-3)
的定義域為（　　）
A、（3，+∞）
B、[3，+∞）
C、（3，4]
D、（-∞，4]

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科目：高中數學 來源： 題型：

正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角，則異面直線AD和BC所成角為（　　）
A、
π
4
B、
π
3
C、
π
6
D、
π
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

關于x的方程x2+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0的兩根為α、β且0＜θ＜2π，若數列1，（
1
α
+
1
β
），（
1
α
+
1
β
）2…的前2008項和為0，則θ的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=4x2-kx-8．
（1）若y=f（x）在區(qū)間[2，10]上具有單調性，求實數k的取值范圍；
（2）若y=f（x）在區(qū)間（-∞，2]上有最小值，為-12，求實數k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E、F、G分別是AB、AD、CD的中點，計算：
（1）
EF
•
BA
；
（2）
EF
•
DC
；
（3）EG的長；
（4）異面直線AG與CE所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=ax-cos2x，若x1，x2∈[
π
8
，
π
6
]，x1≠x2，
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＞0，則實數a的取值范圍為
 
．

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