Question

已知k∈R，函數(shù)f（x）=a^x+k•b^x（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函數(shù)在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若實數(shù)a，b滿足ab=1．求k的值，使得函數(shù)f（x）具有奇偶性．（寫出完整解題過程）

Answer 1

解：（1）當時，函數(shù)…（1分）
令t=2^x（t＞0），則原函數(shù)變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33070.png' />
由條件知，當t∈（0，1]時，y單調(diào)遞減．此時x∈（-∞，0]，且t=2^x在（-∞，0]上單調(diào)遞增．
所以有函數(shù)在（-∞，0]上單調(diào)遞減．…（3分）
當t∈[1，+∞）時，y單調(diào)遞增．此時x∈[0，+∞），且t=2^x在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以有函數(shù)在（-∞，0]上單調(diào)遞增．…（3分）
綜上，在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在（-∞，0]上單調(diào)遞增． …（1分）
（2）由題意，ab=1，所以有
①若f（x）為奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），即a^-x+kb^-x=-（a^x+kb^x），
即，得b^x+ka^x=-（a^x+kb^x），
整理得（1+k）（b^x+a^x）=0，所以有1+k=0，得k=-1…（3分）
②若f（x）為偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x），即a^-x+kb^-x=a^x+kb^x，
即，得b^x+ka^x=a^x+kb^x，所以得k=1…（3分）
綜上有，k=-1時，f（x）為奇函數(shù)，k=1時，f（x）為偶函數(shù)．…（1分）
分析：（1）將a，b的值代入，得到，換元，令t=2^x，根據(jù)的單調(diào)區(qū)間判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)奇函數(shù)偶函數(shù)的概念，代入f（x），化簡整理，求得k的值．
點評：本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，中間用到了換元法，是中檔題．