Question

（理）設(shè)直線l與球O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，從直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面α，β截球O的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1和，二面角α-l-β的平面角為150°，則球O的表面積為（ ）
A．4π
B．16π
C．28π
D．112π

Answer 1

【答案】分析：欲求球O的表面積，只需求出球O的半徑，根據(jù)題意OP長(zhǎng)即球O的半徑，再根據(jù)球心與截面圓圓心連線垂直截面圓，可考慮連接球心與兩個(gè)截面圓圓心，利用得到的圖形中的一些邊角關(guān)系，求出R，再利用球的表面積公式即可求出球O的表面積．
解答：解：設(shè)平面α，β截球O的兩個(gè)截面圓的圓心分別為A，B，
連接OA，OB，PA，PB，根據(jù)題意在四邊形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOB=30°，
PA=1，PB=，
設(shè)OP=R，則OA=，OB=
設(shè)∠AOP=α，∠BOP=β，則sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=
sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==sin30°=
∴R²=28
∴球O的表面積為4πR²=112π
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查了球的截面圓的性質(zhì)，以及二面角的平面角的找法，綜合性較強(qiáng)，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到聯(lián)系．