Question

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到點(diǎn)P（如圖）．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)），則AP=

4

3

．

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，和P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P₂的坐標(biāo)，由P₁，Q，R，P₂四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過△ABC的重心，代入可得關(guān)于a的方程，解之可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的值．

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：
可得B（4，0），C（0，4），故直線BC的方程為x+y=4，
△ABC的重心為（

0+0+4

3

，

0+4+0

3

），
設(shè)P（a，0），其中0＜a＜4，
則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P₁（x，y），滿足

a+x 2 +  y+0 2 =4 y-0 x-a •(-1)=-1

，
解得

x=4 y=4-a

，
即P₁（4，4-a），易得P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四點(diǎn)共線，
直線QR的斜率為k=

4-a-0

4-(-a)

=

4-a

4+a

，故直線QR的方程為y=

4-a

4+a

（x+a）．
由于直線QR過△ABC的重心（

4

3

，

4

3

），代入化簡(jiǎn)可得3a²-4a=0，
解得a=

4

3

，或a=0（舍去），故P（

4

3

，0），故AP=

4

3

，
故答案為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與點(diǎn)的對(duì)稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題．