Question

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)二面角D-EF-B的大小為45°時(shí)，求二面角A-EC-F的大�。�

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）作EM⊥CF于M，則易知為異面直線AD與EF所成的角，在在RT△EMF中求解．
（2）∠DEC 為二面角D-EF-B的平面角．作BN⊥CE于N，則∠ANB即為二面角A-EC-F的平面角的補(bǔ)角
方法二：（1）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用夾角求出異面直線AD與EF所成的角
（2）利用面ECA的一個(gè)法向量與面ECF的一個(gè)法向量夾角求出二面角A-EC-F的大�。�
解答：解：（方法一）（1）作EM⊥CF于M，則EM∥BC∥AD，
在RT△EMF中，易知四邊形BCME為矩形，所以EM=BC=AD=，又EF=2
所以cos∠MEF==，∠MEF=30°，即異面直線AD與EF所成的角為30°．…（5分）
（2）矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∴DC⊥EF，又CE⊥EF，
即∠DEC為二面角D-EF-B的平面角，即∠DEC=45°．
若設(shè)EC=x，則在直角三角形CEF中，CE•EF=CF•EM，x•2=，x=．
∴CE=CD=AB=．
作BN⊥CE于N，則∠ANB即為二面角A-EC-F的平面角的補(bǔ)角，

在直角三角形CBE中，CB•BE=CE•BN，且BE=，解得BN=，
∴tan∠ANB=，
∴二面角A-EC-F的大小為．…（12分）
（方法二）
如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系  C-xyz．…（1分）F（0，c，0），D（0，0，a）…（2分）
（1），
由，∴b-c=-1．所以．
所以，…（4分）
所以異面直線AD與EF成30°   …（5分）
（2）當(dāng)二面角D-EF-B的大小為45，即∠DEC=45°．
設(shè)，求得．…（8分）
又因?yàn)锽A⊥平面BEFC，，所以…（10分）
因?yàn)槎�面角A-EC-F是銳二面角，
所以二面角A-EC-F的大小為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問(wèn)題，能夠降低思維難度．