Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²．
（I） 求函數(shù)y=f（x）在上的最大值．
（II）如果函數(shù)g（x）=f（x）-ax的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂．y=g′（x）是
y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若正常數(shù)p，q滿足p+q=1，q≥p．
求證：g′（px₁+qx₂）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得f^′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)f（2）=2ln2-4，f（x）_極大值=f（1）=-1，所以最大值為f（1）=-1
（Ⅱ）由題意得所以只要證明=＜0即可，只需證
u（x）=即可，由題得u^′（t）＞0所以u(píng)（t）在t∈（0，1）上為增函數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2lnx-x²得到：，
∵，故f^′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，，f（2）=2ln2-4，f（x）_極大值=f（1）=-1，
且知，所以最大值為f（1）=-1．
（Ⅱ）∵，又f（x）-ax=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁，x₂，
則，兩式相減得到：
于是
=
∵2p≤1，x₂＞x₁＞0，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0
要證：g^′（px₁+qx₂）＜0，只需證：
只需證：①
令，只需證：在0＜t＜1*u上恒成立，
又∵
∵，則，∴，于是由t＜1可知t-1＜0，
故知u^′（t）＞0∴u（t）在t∈（0，1）*u上為增函數(shù)，
則u（t）＜u（1）=0，從而知，即①成立，從而原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值與函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值從而進(jìn)一步證明不等式的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容．