Question

已知函數(shù)，．

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)，若對(duì)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，總存在，使得成立，證明：．

 

Answer 1

【答案】

(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，

(2)    (3)構(gòu)造函數(shù)證明.

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，1，

則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，．

(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

設(shè)，則，令，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值1，因而．

(3)，．

因?yàn)閷?duì)任意的總存在，使得成立，

所以，即，

即

．

設(shè)，其中，則，因而在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，，又．所以，即．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．