Question

菱形ABCD邊長為2，∠BAD=60°，將ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=

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（1）求證：DE⊥AC；
（2）求證：直線BE上是否存在一點M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點M的位置，不存在請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）要證DE⊥AC，只需要證明AC⊥面BDE，即可得到結(jié)論；
（2）設M為BE中點，通過面面平行來證線面平行，關鍵證明面MFC∥面ADE．

解答： 證明：（1）設F為BD的中點，連接AF、CF，EF，
∵菱形ABCD邊長為2，∠BAD=60°，
∴△ABD，△BCD為正三角形，
∴CF⊥BD，
∵平面ABD⊥平面CBD，
∴CF⊥面ABD，∴CF⊥AF，且CF=

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，
∵AE⊥平面ABD，且AE=

3

，
∴AE=CF，AE∥CF，
即四邊形AECF是正方形，則對角線AC⊥EF，
∵ABCD是菱形，∴AF⊥BD，
即BD⊥平面AECF，即BD⊥AC，
∴AC⊥面EFD，
∵DE?面EFD，
∴AC⊥DE；
（2）當M為BE中點，F(xiàn)為BD中點，∴MF∥DE，
又由（1）知，正方形AFCE，
∴CF∥AE，MF、CF?面MFC，MF∩CF=F，AE、ED?面ADE，AE∩ED=E，
∴面MFC∥面ADE，
∵CM?面MFC，∴CM∥平面ADE．

點評：本題考查空間直線垂直和線面平行的判定，要求熟練掌握相應的判定定理是解決本題的關鍵．