Question

關(guān)于y=f（x），給出下列五個(gè)命題：
①若f（-1+x）=f（1+x），則y=f（x）是周期函數(shù)；
②若f（1-x）=-f（1+x），則y=f（x）為奇函數(shù)；
③若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，則y=f（x）為偶函數(shù)；
④函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
⑤若f（1-x）=f（1+x），則y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．
填寫所有正確命題的序號(hào)

①③

．

Answer 1

分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行判定選項(xiàng)①的真假，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判定選項(xiàng)②④⑤的真假，根據(jù)函數(shù)的奇偶性判定選項(xiàng)③的真假，從而得到結(jié)論．

解答：解：①若f（-1+x）=f（1+x），則f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期函數(shù)，周期為2，故①正確；
②若f（1-x）=-f（1+x），則f（x+1）+f（1-x）=0∴y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0），故②不正確；
③若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，則f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故y=f（x）為偶函數(shù)，故③正確；
④函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，設(shè)y=f（x）=x，則y=f（1-x）=1-x，y=f（x+1）=x+1，是關(guān)于x=0對(duì)稱；④不正確；
⑤若f（1-x）=f（1+x），則y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故⑤不正確．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性，以及函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，屬于基礎(chǔ)題．