【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,討論關(guān)于x的方程在區(qū)間上實(shí)根的個(gè)數(shù).
【答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.(Ⅱ)當(dāng)或時(shí),原方程在上僅有一個(gè)實(shí)根;當(dāng)時(shí),原方程在上有兩個(gè)實(shí)根.
【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)后,對分類討論,利用導(dǎo)函數(shù)的符號可得單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)顯然是方程的實(shí)根,在的條件下,由(Ⅰ)的單調(diào)性可得關(guān)于x的方程在區(qū)間上無實(shí)根,當(dāng)時(shí),構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并對分類討論可求得結(jié)果.
(Ⅰ)由條件,得
令,得.
當(dāng)時(shí),由,得,由,得.
所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.
當(dāng)時(shí),由,得,由,得.
所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,所以是方程的實(shí)根.
當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知單調(diào)遞增,所以.而,
所以方程在區(qū)間上無實(shí)根.
當(dāng)時(shí),.
設(shè),
則.
設(shè),
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
①當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上,總有,從而,所以在上單調(diào)遞增,,即原方程在上無實(shí)根.
②當(dāng),即時(shí),因?yàn)?/span>,所以存在,滿足.
所以在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增.
又因?yàn)?/span>,,
所以當(dāng),即時(shí),原方程在上有唯一實(shí)根,
當(dāng),即時(shí),原方程在上無實(shí)根;
綜上所述,當(dāng)或時(shí),原方程在上僅有一個(gè)實(shí)根;
當(dāng)時(shí),原方程在上有兩個(gè)實(shí)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,四邊形為正方形,,分別為,中點(diǎn).
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(1)證明:平面;
(2)已知,,,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,已知都是邊長為的等邊三角形,為中點(diǎn),且平面,為線段上一動點(diǎn),記.
(1)當(dāng)時(shí),求異面直線與所成角的余弦值;
(2)當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小張上班從家到公司開車有兩條線路,所需時(shí)間(分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化,其概率分布如下表所示:
所需時(shí)間(分鐘) | 30 | 40 | 50 | 60 |
線路一 | 0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
線路二 | 0.3 | 0.5 | 0.1 | 0.1 |
則下列說法正確的是( )
A.任選一條線路,“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對立事件
B.從所需的平均時(shí)間看,線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間
C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司,小張應(yīng)該走線路一
D.若小張上、下班走不同線路,則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形ABCD為矩形,BC=2AB,E為AD的中點(diǎn),將ABE、DCE分別沿BE、CE折起得圖2,使得平面平面BCE,平面平面BCE.
(1)求證:平面平面DCE;
(2)若F為線段BC的中點(diǎn),求直線FA與平面ADE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(s為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為,,直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C:的焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)之間的距離為2,且C的離心率為,則下列說法正確的有( ).
A.C的漸近線方程為B.C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C.C的頂點(diǎn)到漸近線的距離為D.曲線經(jīng)過C的一個(gè)焦點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)閱兵領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室介紹,2019年國慶70周年閱兵有59個(gè)方(梯)隊(duì)和聯(lián)合軍樂團(tuán),總規(guī)模約1.5萬人,是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.其中,徒步方隊(duì)15個(gè).為了保證閱兵式時(shí)隊(duì)列保持整齊,各個(gè)方隊(duì)對受閱隊(duì)員的身高也有著非常嚴(yán)格的限制,太高或太矮都不行.徒步方隊(duì)隊(duì)員,男性身高普遍在175cm至185cm之間;女性身高普遍在163cm至175cm之間,這是常規(guī)標(biāo)準(zhǔn).要求最為嚴(yán)格的三軍儀仗隊(duì),其隊(duì)員的身高一般都在184cm至190cm之間.經(jīng)過隨機(jī)調(diào)查某個(gè)閱兵陣營中女子100人,得到她們身高的直方圖,如圖,記C為事件:“某一閱兵女子身高不低于169cm”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.5.
(1)求直方圖中a,b的值;
(2)估計(jì)這個(gè)陣營女子身高的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
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