已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意的x1，x2都滿足f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，當x＞0時，f(x)＞0．

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

(2)試判斷f(x)的單調(diào)性，并證明．

答案：
解析：

　　解：(1)令x1＝x2＝0，則f(0)＝2f(0)f(0)＝0．令x1＝x，x2＝－x，則有f(0)＝f(x)＋f(－x)，

　　∴f(－x)＝－f(x)．

　　∴f(x)為奇函數(shù)．

　　(2)f(x)為增函數(shù)．理由：對任意的x1，x2∈R，設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，f(x2－x1)＞0，

　　則f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)＜0，

　　∴f(x1)＜f(x2)．

　　∴f(x)為R上的增函數(shù)．


提示：

(1)利用賦值法求得f(0)，再用定義法判斷f(x)的奇偶性；(2)利用定義法判斷、證明f(x)的單調(diào)性．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個極值點分別為x1，x2判斷下列三個代數(shù)式：①x1+x2+a，②
x
2
1
+
x
2
2
+a2，③
x
3
1
+
x
3
2
+a3
中有幾個為定值？并且是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求出g（a）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題1：已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們?nèi)舭衙恳粋�函數(shù)值計算出，再求和，對函數(shù)值個數(shù)較少時是常用方法，但函數(shù)值個數(shù)較多時，運算就較繁鎖．觀察和式，我們發(fā)現(xiàn)f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規(guī)律從而很方便求和，請求出上述結(jié)果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數(shù)f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P是M，N的中點．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)（n∈N*，n≥2），求
lim
n→∞
4Sn-9Sn
4Sn+1+9Sn+1
的值；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)
（1）當f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求f（x）的值域；
（2）試問對定義域內(nèi)的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
1
2
≤a≤
3
2
，求g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設(shè)Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關(guān)于n的解析式；
（3）對（2）中的Tn，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，當n≥2時，an=4Tn+2，問是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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