Question

4．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列，c=$\sqrt{3}$bsinC-ccosB．
（Ⅰ）求B的大��；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinBsinC-sinCcosB，進(jìn)而變形可得1=$\sqrt{3}$sinC-cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B-$\frac{π}{6}$），即可得B-$\frac{π}{6}$的值，計(jì)算可得B的值，即可得答案；
（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）²-3ac=12，又由a、b、c成等比數(shù)列，進(jìn)而可以變形為12=（a+c）²-36，解可得a+c=4$\sqrt{3}$，進(jìn)而計(jì)算可得△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c，由面積公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB計(jì)算可得△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，若c=$\sqrt{3}$bsinC-ccosB，
由正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinBsinC-sinCcosB，
又由sinC≠0，則有1=$\sqrt{3}$sinC-cosB，
即1=2sin（B-$\frac{π}{6}$），
則有B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或B-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$或π（舍）
故B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）已知b=2$\sqrt{3}$，則b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=12，
又由a、b、c成等比數(shù)列，即b²=ac，
則有12=（a+c）²-36，解可得a+c=4$\sqrt{3}$，
所以△ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵利用三角函數(shù)的恒等變形正確求出B的值．