Question

已知過曲線上任意一點(diǎn)作直線的垂線，垂足為,且.
⑴求曲線的方程；
⑵設(shè)、是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，
當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，
并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

⑴ 
⑵當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn).

試題分析：⑴要求曲線方程,但是不知道是哪種曲線,所以只能設(shè)點(diǎn).根據(jù),轉(zhuǎn)化為求曲線方程即可;
⑵要證明直線恒過定點(diǎn),必須得有直線方程,所以首先設(shè)出直線方程.又因?yàn)閮蓚�(gè)角是直線和的傾斜角,所以點(diǎn)也得設(shè)出來.利用韋達(dá)定理,然后討論的范圍變化,證明并得出定點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：⑴設(shè)，則，由得，;
即;所以軌跡方程為;
⑵設(shè)，由題意得（否則）且,
所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041754145916.png" style="vertical-align:middle;" />在拋物線上,所以，
將與聯(lián)立消去，得;
由韋達(dá)定理知①;
(1)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，,所以，
,所以.由①知：,所以
因此直線的方程可表示為，即.
所以直線恒過定點(diǎn)
(2)當(dāng)時(shí)，由，得==
將①式代入上式整理化簡可得：，所以，
此時(shí)，直線的方程可表示為,
即,所以直線恒過定點(diǎn);
所以由(1)(2)知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn).           12分