Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，=（2a+c，b），=（cosB，cosC），若．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=，求a+c的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得，代入整理可得（2a+c）cosB+bcosC=0，結(jié)合sinA=sin（B+C），及sinA≠0，可求cosB，進(jìn)而可求B
（2）由余弦定理得3=a²+c²+ac，即3=（a+c）²-ac，由基本不等式≥可求a+c的最大值
解答：解 （1）由，得，得（2a+c）cosB+bcosC=0，…（2分）
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
又sinA=sin（B+C），得2sinAcosB+sinA=0，…（4分）
因?yàn)閟inA≠0，所以cosB=-，B=                     …（6分）
（2）由余弦定理得3=a²+c²+ac，即3=（a+c）²-ac，（a，c＞0）． …（8分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183906485133993/SYS201310241839064851339014_DA/8.png">≥得-ac≥-，
所以3≥（a+c）²-，…（10分）
故（a+c）²≤4，a+c≤2，得a+c的最大值為2                 …（14分）
點(diǎn)評：本題以向量數(shù)量積的性質(zhì)：  為載體，主要考查了三角形的正弦定理，內(nèi)角和定理及和差角公式的綜合應(yīng)用，余弦定理及基本不等式在求解最值中的應(yīng)用．