Question

如圖所示，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，且使兩個三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
（3）求異面直線AD與BC間的距離．

Answer 1

分析：（1）要證平面ABD⊥平面ACD，關鍵是證AC⊥平面ABD，只需證AC⊥BC，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC可證；
（2）設BC中點為E，連AE，過E作EF⊥CD于F，連AF，由三垂線定理，可得∠EFA為二面角的平面角，從而可求；
（3）將異面直線AD與BC間的距離轉化為點到面的距離求解．

解答：證明：（1）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，
∴AC⊥平面ABD 又AC?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．
（2）設BC中點為E，連AE，過E作EF⊥CD于F，連AF，由三垂線定理：∠EFA為二面角的平面角
∵△EFC∽△DBC，∴

EF

BD

=

CF

CD

，
∴EF=

3

2

，又AE=3，
∴tan∠EFA=

AE

EF

=2
∴二面角的平面角的正切值為2
（3）解：過點D作DG∥BC，且CB=DG，連AG，設平面ADG為平面α
∵BC∥平面ADG，∴B到平面ADG的距離等于C到平面ADG的距離為h
∵V_C-AGD=V_A-CBD
∴

1

3

S△AGDh=

1

3

S△BCD AE
∴h=

6 7

7

點評：本題的考點是與二面角有關的立體幾何綜合，主要考查面面垂直的判定與性質，考查二面角的平面角，考查異面直線間的距離，有一定的綜合性