Question

【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，0），B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若 ，求k的值；
（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題設(shè)得橢圓的方程為 ，
直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如圖，

設(shè)D（x0 ， kx0），E（x1 ， kx1），F(xiàn)（x2 ， kx2），其中x1＜x2 ，
且x1 ， x2滿足方程（1+4k2）x2=4，
故 ．①
由 知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得 ；
由D在AB上知x0+2kx0=2，得 ．
所以 ，
化簡(jiǎn)得24k2﹣25k+6=0，
解得 或 ．
（Ⅱ）由題設(shè)，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1 ， kx1），F(xiàn)（x2 ， kx2），
不妨設(shè)y1=kx1 ， y2=kx2 ， 由①得x2＞0，根據(jù)E與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知y2=﹣y1＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF
= （﹣y1）
=
=x2+2y2
= = = ，
當(dāng)x2=2y2時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為
【解析】（1）依題可得橢圓的方程，設(shè)直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx，D（x0 ， kx0），E（x1 ， kx1），F(xiàn)（x2 ， kx2），且x1 ， x2滿足方程（1+4k2）x2=4，進(jìn)而求得x2的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù) 求得x0的表達(dá)式，由D在AB上知x0+2kx0=2，進(jìn)而求得x0的另一個(gè)表達(dá)式，兩個(gè)表達(dá)式相等求得k．（Ⅱ）由題設(shè)可知|BO|和|AO|的值，設(shè)y1=kx1 ， y2=kx2 ， 進(jìn)而可表示出四邊形AEBF的面積進(jìn)而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最大值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用向量的共線定理，掌握設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線即可以解答此題．