Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），
（1）若對(duì)定義域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)定義域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立知函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的最小值為f（1），從而得到f′（1）=0即可
（2）要求函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，即要求f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，然后分類(lèi)討論：當(dāng)f′（x）≥0時(shí)，即2x²+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，即b≥-2x²-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

恒成立；當(dāng)f′（x）≤0時(shí)，2x²+2x+b≤0，即b≤-（2x²+2x）恒成立，因-（2x²+2x）在（-1，+∞）上沒(méi)有最小值，故不符合題意

解答：解：（1）由x+1＞0得x＞-1
∴f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
對(duì)x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函數(shù)f（x）的最小值，故有f′（1）=0，
f/(x)=2x+

b

x+1

，∴2+

b

2

=0，
解得b=-4．
（2）∵f/(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

，
又函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x²-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

恒成立，由此得b≥

1

2

；
若f′（x）≤0，
∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≤0，即b≤-（2x²+2x）恒成立，
因-（2x²+2x）在（-1，+∞）上沒(méi)有最小值，
∴不存在實(shí)數(shù)b使f（x）≤0恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是[

1

2

，+∞)．
故答案為：（1）b=-4；（2）實(shí)數(shù)b的取值范圍是[

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，另外還有分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．