Question

從橢圓+=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線(xiàn)，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線(xiàn)AB平行于OM．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若b=2，設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₂是右焦點(diǎn)，求△F₁QF₂的面積的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)QF₂⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF₂與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F₁PQ的面積為20（Q是橢圓上的點(diǎn)），求此橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線(xiàn)AB平行于OM，可得k_OM=k_AB，從而可得b=c，進(jìn)而可求橢圓的離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，所以c=2，表示出△F₁QF₂的面積，即可求出F₁QF₂的面積的最大值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程為，與直線(xiàn)聯(lián)立，表示出面積，利用△F₁PQ的面積為20，即可求此橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，，
因?yàn)殚L(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線(xiàn)AB平行于OM
所以k_OM=k_AB，所以，所以b=c
所以a²=2c²，
∴，
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，∵b=2，∴c=2
∴
∴△F₁QF₂的面積的最大值為4；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程為，與直線(xiàn)聯(lián)立可得5x²-8bx+2b²=0．△=24b²＞0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
|PQ|=，F(xiàn)₁到直線(xiàn)PQ的距離為
∴
∴b²=25，
∴a²=50，
∴橢圓方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確表達(dá)三角形的面積．