【答案】
分析:解法1:(Ⅰ)依題意,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,-p),可設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),直線AB的方程為y=kx+p,與x
2=2py聯(lián)立得
消去y得x
2-2pkx-2p
2=0.然后由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為O',l與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q,PQ的中點(diǎn)為H,
則O'H⊥PQ,Q'點(diǎn)的坐標(biāo)為(
,y
1+
),由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線.
解法2:(Ⅰ)依題意,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,-p),可設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),直線AB的方程為y=kx+p,與x
2=2py聯(lián)立得
消去y得x
2-2pkx-2p
2=0.由弦長(zhǎng)公式得
=
,又由點(diǎn)到直線的距離公式得
.由此能求出△ANB面積的最小值.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,則以AC為直徑的圓的方程為(x-0)(x-x
1)-(y-p)(y-y
1)=0,
將直線方程y=a代入得x
2-x
1x+(a-p)(a-y
1)=0,則
.由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線.
解答:解:法1:(Ⅰ)依題意,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,-p),
可設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
直線AB的方程為y=kx+p,與x
2=2py聯(lián)立得
,
消去y得x
2-2pkx-2p
2=0.
由韋達(dá)定理得x
1+x
2=2pk,x
1x
2=-2p
2.
于是
=
=
,
∴當(dāng)k=0時(shí),
.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,
AC的中點(diǎn)為O',l與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q,PQ的中點(diǎn)為H,
則O'H⊥PQ,Q'點(diǎn)的坐標(biāo)為(
).
∵
,
,
∴|PH|
2=|O'P|
2-|O'H|
2=
=
,
∴|PQ|
2=(2|PH|)
2=
.
令
,得
,此時(shí)|PQ|=p為定值,
故滿足條件的直線l存在,其方程為
,
即拋物線的通徑所在的直線.
解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦長(zhǎng)公式得
=
,
又由點(diǎn)到直線的距離公式得
.
從而
,∴當(dāng)k=0時(shí),
.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,則以AC為直徑的圓的方程為(x-0)(x-x
1)+(y-p)(y-y
1)=0,
將直線方程y=a代入得x
2-x
1x+(a-p)(a-y
1)=0,
則|x
1-x
2|
2=
.
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x
3,y
3),Q(x
4,y
4),
則有
.
令
,得
,此時(shí)|PQ|=p為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為
,
即拋物線的通徑所在的直線.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力.