Question

9．已知點(diǎn)$A（-\sqrt{3}，0）$和$B（\sqrt{3}，0）$，動(dòng)點(diǎn)C引A、B兩點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2交于D、E兩點(diǎn)，求弦DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的定義和a，b，c的關(guān)系，可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2聯(lián)立，得5x²-16x+12=0，利用弦長(zhǎng)公式，由此能求出線段DE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知，曲線是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a=4，即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有點(diǎn)C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2聯(lián)立，得5x²-16x+12=0，
設(shè)D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，x₁x₂=$\frac{12}{5}$，
∴|DE|=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{256}{25}-4×\frac{12}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
故線段DE的長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，涉及弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．