Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)-

a

-2

＜1，即a＜2時，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易得滿足條件；當(dāng)-

a

-2

≥1，即a≥2時，若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則函數(shù)f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，不為單調(diào)函數(shù)，即-1+a＞2a-5，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 解：當(dāng)-

a

-2

＜1，即a＜2時，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知：
存在x₁，x₂∈（-∞，1]且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
當(dāng)-

a

-2

≥1，即a≥2時，
若存在x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
則-1+a＞2a-5，
解得：a＜4，
∴2≤a＜4，
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜4，
故答案為：a＜4

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵．