Question

17．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-y≥0\\ x≥0\end{array}$，若目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為n，則${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為240．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得n，再由二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解．

解答 解：由約束條件x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-y≥0\\ x≥0\end{array}$，作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2），
化目標(biāo)函數(shù)z=x+2y為y=-$\frac{x}{2}$+$\frac{z}{2}$，由圖可知，當(dāng)直線y=-$\frac{x}{2}$+$\frac{z}{2}$過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為6．
則${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$=$（{x-\frac{2}{\sqrt{x}}）}^{6}$．
由T_r+1=${C}_{6}^{r}$（-2）^r•${x}^{6-r-\frac{r}{2}}$．
令6-$\frac{3}{2}r$=0得r=4．
∴則$（x-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{6}^{4}（-2）^{4}$=240．
故答案為：240．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是中檔題．