Question

已知向量且
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x₁，x₂且，求x₁+x₂的值．

Answer 1

解：（1）由向量，
所以+2
==．
（2）函數(shù)f（x）的周期為2π．
列表：

描點并用平滑曲線連接：

（3）由
得．
當K=-1時，得；當k=0時，得．
所以f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間為．
（4）由，得．
因為x∈[-π，π]，所以．
所以，則．
所以當時方程f（x）=m的兩個根x₁，x₂關于x=對稱．
所以x₁+x₂=．
分析：（1）直接把向量的坐標代入解析式，利用數(shù)量積的坐標運算化簡；
（2）由分別取0，，π，，2π求出x的值進行列表，然后描點用平滑曲線連接；
（3）利用復合函數(shù)的單調性求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，通過取k得值求出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間；
（4）分析得到滿足時關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根x₁，x₂在內切關于x=對稱，利用中點坐標公式求x₁+x₂的值．
點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，訓練了利用五點作圖法作函數(shù)的圖象，訓練了復合函數(shù)單調性的求法，考查了函數(shù)零點的判斷方法，該題考查知識點多，訓練了學生綜合處理問題的能力，是中檔題．