Question

設(shè)命題p：“對任意的x∈R，x²-2x＞a”，命題q：“存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0”．如果命題p∨q為真，命題p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：分別求出在命題p，q下的a的取值，然后根據(jù)條件判斷出p，q中一真一假，所以分別求在這兩種情況下a的范圍，再求并集即可．

解答： 解：命題p：對任意的x∈R，x²-2x＞a，∴x²-2x的最小值大于a；
x²-2x的最小值為：-1；
∴-1＞a，即a＜-1；
命題q：存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0；
即方程x²+2ax+2-a=0有實(shí)根；
∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2，或a≥1；
∵命題p∨q為真，命題p∧q為假，∴命題p，q中一真一假；
∴若p真q假：

a＜-1 -2＜a＜1

，解得-2＜a＜-1；
若p假q真：

a≥-1 a≤-2，或a≥1

，解得a≥1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2，-1）∪[1，+∞）．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)的最值，一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，交集與并集，以及p∨q，和p∧q的真假情況．